En 1984 Michael V. Berry publica un artículo donde descubre; que si un sistema cuántico experimenta una evolución y se cambian los parámetros externos del sistema muy lentamente de tal forma que después de algún tiempo estos regresan a su estado original, es decir completan un ciclo, el estado del sistema es el mismo pero surge una fase. A esta fase se le llama Fase de Berry, aunque el propio Berry se refiere a ella como fase geométrica. Vale la pena mencionar que también fue descubierta por S. Panchararnam en 1956, mientras estudiaba la luz polarizada que pasa a través de cristales. 

La fase de Berry normalmente ocurre en sistemas cuánticos cuyo Hamiltoniano depende continuamente de ciertos parámetros externos, por ejemplo del campo eléctrico o magnético. Si estos parámetros están fijos cualquier vector estado con energía E evoluciona en el tiempo de acuerdo a la multiplicación del factor de la fase dinámica exp(-iEt/ђ). Pero cuando estos parámetros varían lentamente, el Hamiltoniano se vuelve dependiente del tiempo y da lugar a una fase extra, además de la dinámica, obtenidas por los eigenestados de energía a lo largo de la evolución temporal. Para una trayectoria arbitraria en el espacio de parámetros, esta fase es ambigua; pero para trayectorias cerradas se convierte en una fase de Berry bien definida y observable que se origina de la dependencia de los eigenestados de energía en los parámetros. El anális de Berry ha encontrado aplicaciones en diversos campos como en fisica de partícula y altas energías, materia condensada, óptica y computación cuántica. Uno de de las consecuencias más famosas de la fase de Berry es el efecto Aharonov-Bohm. 

El ejemplo típico de un sistema que muestra este fenómeno, es un espín de un grado de libertad acoplado a un campo magnético uniforme con norma constante pero de dirección variable; el Hamiltoniano es esencialmente la proyección del operador del espín a lo largo del campo magnético, por lo que el espacio de parámetros puede ser identificado con una esfera y la fase de Berry obtenida por un eigen-estado del espín a lo largo de una curva cerrada en el espacio de parámetros es proporcional al área encerrada por esta trayectoria en la esfera. 

Cuando hay problemas de espines en mecánica cuántica generalmente se trabaja con el grupo SU(2), ya que este grupo de rotaciones tridimensionales está físicamente relacionado con el momento angular y el espín. Por lo mismo utilizando el ejemplo anterior se puede explicar cómo aparecen las fases de Berry en la representación unitaria de SU(2). Pero el grupo SU(2) no es el único grupo que se utiliza en física cuántica. Hay otros grupos que son importantes, por ejemplo el grupo Conforme. 

Presentare una breve introducción sobre el grupo conforme en d ≥ 3 dimensiones y las teorías conformes en dos dimensiones y sus álgebras conformes. Se le pondrá mayor interés al álgebra global conforme, ya que es isomorfa al grupo SL(2,R). Luego hablaré de la fase de Berry, qué es, cómo se calcula, efectos interesantes y sus aplicaciones. También presentare como se calcula la representación de la fase de Berry en los grupos SU(2) y SL(2,R). Y partir del resultado de la fase de Berry en SL(2,R) dicutiré un poco sobre la precesión de Thomas y que implica que la fase de Berry en SL(2, R) sea una precesión de Thomas para un álgebra global conforme.

Esta imagen muestras las trayectorias orbitales de los electrones atrapados dentro una región circular dentro de grafeno. En la órbira clasica (azul), un electrón que viaja en un circuito completo tiene el mismo estado físico que cuando comenzó en la trayectoria. Sin embargo, cuando un campo magnético aplicado alcanza un valor crítico (rojo),un electrón que completa un circuito tiene un estado físico diferente al original. El cambio se denomina fase Berry, y el campo magnético actúa como un interruptor para activar la fase Berry. El resultado es que el electrón se eleva a un nivel de energía más alto.